Історія Універсальної Гільдії Вимірювань
У магічній країні під назвою Меасуротопія люди прагнули виміряти та описати все — відстані, вагу й час. Але виникла велика суперечка: які інструменти вони мають використовувати для вимірювання?
Три групи запропонували свої власні системи:
- Система МКС: метри для довжини, кілограми для ваги і секунди для часу.
- Система СГС: сантиметри для довжини, грами для ваги і секунди для часу.
- Система ФПС: фути для довжини, фунти для ваги і секунди для часу.
Одного дня в Меасуротопію прилетіла чарівна пташка на ім'я Вектор. Вона сказала: «Я прийшла з Простору Векторів, де ми описуємо положення та напрямки. Але для цього мені потрібна ваша допомога у виборі базису — системи, схожої на вашу МКС, СГС чи ФПС.»
Що таке базис?
Пташка пояснила: «Базис — це як набір будівельних блоків. У ваших системах:
- МКС використовує метри, кілограми і секунди.
- СГС використовує сантиметри, грами і секунди.
- ФПС використовує фути, фунти і секунди.
У моєму світі ми використовуємо вектори як наші будівельні блоки. Базис — це просто набір цих векторів, які ми комбінуємо для опису будь-якого положення.»
Люди запитали: «Як нам вибрати базис?»
Пташка відповіла: «Ваш базис повинен відповідати двом простим правилам:
- Незалежність: Кожен інструмент у вашій системі має вимірювати щось унікальне. Наприклад, метри вимірюють довжину, а не вагу.
- Повнота: Усі ваші інструменти повинні охоплювати все. Якщо ви забуваєте про час, ви не зможете повністю описати подію.»
Що не є базисом?
Пташка застерегла: «Не кожен набір інструментів може бути базисом. Наприклад:
- МКС — це валідний базис, бо метри, кілограми та секунди вимірюють незалежні величини: довжину, вагу і час.
- Але уявіть, що хтось пропонує додати швидкість (відстань, поділена на час) до базису. Це не спрацює, бо швидкість не є незалежною — її можна обчислити за допомогою відстані і часу.»
Пташка продовжила: «У Просторі Векторів це дуже важливо. Базис має складатися з незалежних векторів, що означає, що жоден вектор не може бути отриманий шляхом комбінування або похідних від інших. Якщо ви додаєте щось, наприклад, швидкість, ви повторюєте інформацію, і це порушує правила базису.»
Щоб уточнити, пташка додала: «Це як намагатись виміряти відстань двома лінійками різної довжини. Ви не додаєте нову інформацію, а просто дублюєте те, що вже є!»
Люди кивнули на знак розуміння, усвідомлюючи, що хороший базис — це не лише питання охоплення всього, але й уникання перекриття чи надмірності.
Зміна базису
Пташка навела приклад:
«Уявіть, я лечу до точки в небі. Ви можете описати моє положення за допомогою будь-якої з ваших систем:
- У МКС я знаходжусь на висоті 3 метри, 4 метри вперед і 5 секунд у часі.
- У СГС я знаходжусь на висоті 300 сантиметрів, 400 сантиметрів вперед і 5 секунд у часі.
- У ФПС я знаходжусь на висоті 9,8 фути, 13,1 фути вперед і 5 секунд у часі.
Хоча цифри змінюються, моє положення не змінюється. У Просторі Векторів зміна базису — це як перехід між МКС, СГС і ФПС. Інструменти змінюються, але результат залишається тим самим.»
Пташка зупинилася і додала: «Це як описувати веселку різними мовами. Чи скажете ви ‘червоний, оранжевий, жовтий’ англійською, чи ‘lal, narangi, pila’ хінді, сама веселка не змінюється — лише слова, якими ви її описуєте.»
Мораль цієї історії
Жителі Меасуротопії зрозуміли, що так само, як вони можуть вибирати різні системи вимірювання для опису одного й того ж світу, вони можуть вибирати різні базиси в Просторі Векторів для опису одних і тих самих положень. Цифри можуть виглядати по-різному, але зміст ніколи не змінюється.
Пташка зробила висновок: «Базис — це просто спосіб вимірювати і описувати.»
"Поки ваш базис є незалежним і повним, ви можете описати будь-що у моєму світі."
Перед тим, як полетіти, пташка сказала: "Тепер, коли ви розумієте, що таке базис, уявіть, як ви можете використовувати його не лише для навігації в Просторі Векторів, а й у багатьох вимірах науки, інженерії та навіть у повсякденному житті!"
І з цими словами жителі Меасуротопії відчули, що готові досліджувати безкрайній світ векторів, впевнені в своєму розумінні того, що насправді означає базис.
Перекладено з: Linear Algebra Concepts for ML: Part -1