Можливо, цей заголовок не зовсім зрозумілий. Як щодо того, щоб я просто поставив запитання, яке зараз популярне в Інтернеті? Ось воно.
Швидкість є відносною, тому збільшення з 10–20 метрів на секунду має бути таким же, як і збільшення з 0–10 м/с у русі відносної системи. Однак зміна кінетичної енергії від 10 до 20 м/с втричі більша, ніж зміна КЕ від 0 до 10 м/с. Що з цим?
Добре, давайте швидко перевіримо.
Розрахунок зміни кінетичної енергії
Невелике нагадування — кінетичну енергію об’єкта можна обчислити за формулою:
Щоб спростити числа, припустимо, що в нас є об’єкт масою 2 кілограми (тобто 1/2 м = 1). Розрахуємо зміну кінетичної енергії для цих двох випадків:
Так, це втричі більше, навіть попри те, що обидва випадки мають однакову зміну швидкості (збільшення на 10 м/с).
Один об'єкт, постійна сила
Ми можемо зрозуміти, що відбувається, уявивши, що обидва об’єкти прискорюються деякою зовнішньою і постійною силою (F). Припустимо, у мене є постійна сила 10 ньютонів, яка діє на об’єкт. Ось графік швидкості як функції часу для цих двох об’єктів. Сила діє, поки об’єкт не збільшить свою швидкість на 10 м/с.
Обидва об’єкти мають однакове прискорення (нахил графіка швидкості щодо часу) і однакову зміну швидкості. Насправді єдина різниця між двома графіками полягає в тому, що червона лінія червона і зсунута вгору на 10 м/с.
Але зачекайте! Нам не важливо прискорення. Ми хочемо подивитись на зміни енергії. Якщо ми маємо точкову масу з прикладеною силою, ми можемо скористатися принципом роботи-енергії. Це говорить, що робота, виконана над точковою масою, дорівнює зміні її кінетичної енергії (що саме нам і потрібно). Також роботу визначають як силу, що діє на певній відстані (Δr).
Щоб було зрозуміло, F — це сила, що діє на певній відстані Δr, а θ — це кут між силою і переміщенням (у цьому випадку він буде нульовим). Це означає, що нам не важливо, скільки часу це займає. Як щодо цього? Давайте побудуємо графік швидкості як функції положення для цих двох об’єктів з однаковою зміною швидкості.
Ой. Подивіться на це. Обидва об’єкти мають зміну швидкості на 10 м/с — однак той, що почав з 10 м/с, пройшов… зачекайте… тричі більше, ніж інший об’єкт. Якщо він пройшов тричі більшу відстань з тією ж силою, то робота, виконана над ним, буде втричі більша. Бум. Ось вам і відповідь.
Але зачекайте. Це ДІЙСНО означає, що зміни кінетичної енергії залежать від відносної системи. Ну що ж, у цьому випадку — так. Давайте подивимось на більш реалістичну ситуацію.
Зміни енергії при русі вибухаючих м’ячів
Сили — це взаємодія між двома об’єктами. Якщо ви кидаєте м’яч, є сила тяжіння, яку Земля притягує до м’яча — але є також сила тяжіння м’яча, яка тягне Землю вгору. Два об’єкти, одна взаємодія.
Ось у чому була проблема в нашому попередньому прикладі. Існувала сила, що тисла на м’ячі, але м’ячі не мали чого тиснути у відповідь. Ось анімація двох м’ячів рівної маси, що рухаються разом до певного моменту, після чого відбувається деякий тип "вибуху". Ну, це не зовсім вибух — просто рівні і протилежні сили, що розштовхують їх на деякий час.
Це те, як це виглядає в нерухомій системі відліку, а потім у русі разом з двома м'ячами (рухома система відліку).
М'ячі в нерухомій системі відліку
М'ячі в рухомій системі відліку
Я додав туди фонові крапки — мені здається, це виглядає красиво. Ось графік кінетичної енергії для двох м'ячів як функція часу.
Зверніть увагу, що м'яч 1 ЗБІЛЬШУЄ свою кінетичну енергію, але м'яч 2 має ЗМЕНШЕННЯ. Якщо додати ці дві зміни кінетичної енергії разом, ви отримаєте загальну зміну 0.00627503 джоулів (це число буде важливим пізніше).
Тепер давайте побудуємо графік кінетичної енергії цих двох м'ячів, виміряної з рухомої системи відліку.
Зверніть увагу, що два м'ячі починають з однаковою швидкістю і потім рухаються однаково. Вони мають ідентичні зміни кінетичної енергії (у цьому випадку), тому обидва графіки накладаються один на одний. Обидва м'ячі збільшують свою кінетичну енергію, але якщо додати ці зміни енергії разом — вгадайте, що. Так, загальна зміна складає 0.00627503 джоулів. Це ТОЧНО те ж саме, що і зміни КЕ, виміряні в нерухомій системі відліку.
Якщо подивитися на окремі маси, зміна кінетичної енергії не зберігається — але це працює для всієї системи (з обома м'ячами).
Зміни енергії повинні бути узгодженими*
(*якщо ви не рухаєтеся зі швидкістю, близькою до швидкості світла)
Давайте подивимося на ще одну анімацію (для задоволення). Ось два різних за масою об'єкти, що рухаються (по своїх справах) — потім БАЦ. Стиснута пружина відштовхує їх.
Бачите? Це не те, що ви очікували — правда? Рух відбувається в 2D, просто для забави. Добре, якщо ми обчислимо зміну кінетичної енергії в цьому випадку, то отримаємо близько 0.005 джоулів.
Тепер давайте переключимося на рухому систему відліку. Ось як це виглядає.
У цій системі ми отримуємо таку саму загальну зміну кінетичної енергії — сподіваюсь, це не стало для вас сюрпризом. Однак у моделі з пружиною та м'ячем збереження зміни кінетичної енергії може стати більш зрозумілим. Давайте повернемося до нерухомої системи відліку. Звідки взялася кінетична енергія для двох м'ячів? Так, вона взялася від тієї стиснутої пружини. Ми можемо фактично обчислити енергію, що зберігається в пружині за допомогою формули:
де k — це коефіцієнт пружності (жорсткість пружини), а s — це ступінь стиснення пружини. Оскільки я використав реалістичну пружину в наведеній анімації (k = 0.7 Н/м і s = 0.12 метра), я можу обчислити зміну енергії, що зберігається в пружині. Просто здогадайтеся. Вгадайте значення збереженої енергії. Якщо ви вгадали 0.005 джоулів, ви праві.
Ось у чому справа. Не має значення, яку систему відліку ви використовуєте. Як в рухомій, так і в нерухомій системах пружина спочатку стиснута на однакову величину, щоб мати однакову початкову збережену енергію. Коли пружина розширюється, ця збережена енергія пружини перетворюється в кінетичну енергію м'ячів. Обидва м'ячі МАЮТЬ мати однакову загальну зміну кінетичної енергії.
Перекладено з: If Velocity Is Relative, Why Isn’t Kinetic Energy Relative?